흑백 칸이 한 줄로 늘어서 있다고 상상해 보자. 다음 줄을 만들 때 각 칸은 바로 위의 칸과 그 좌우 이웃, 이렇게 세 칸의 색을 본다. 세 칸의 색 조합은 여덟 가지뿐이고, 규칙은 각 조합에 대해 새 칸을 무슨 색으로 칠할지 정해 줄 뿐이다. 그 여덟 개의 답을 이진수로 적으면 00011110, 곧 30이 된다. 이것이 '규칙 30(Rule 30)'의 전부다. 1980년대 초 스티븐 울프럼은 이런 종류의 가장 단순한 프로그램을 체계적으로 훑어보려 했다. 그런 규칙은 256개밖에 없고, 대부분은 소멸하거나 반복하거나 깔끔한 중첩 무늬를 그리는 지루한 것들이었다.
규칙 30은 달랐다. 왼쪽은 규칙적인 줄무늬로 가라앉지만 오른쪽은 끝내 안정되지 않고, 중앙 열은 표준적인 무작위성 검정을 통과한다. '아주 단순한 규칙이 무작위처럼 보이는 결과를 낳는다'는 이 관찰은 울프럼의 저서 《새로운 종류의 과학》(2002)의 주춧돌이 되었다. 규칙 30은 오랫동안 매스매티카의 난수 정수를 생성했고, 그 무늬는 케임브리지 노스 역 벽을 장식하고 있다.
7년째 열려 있는 세 문제
울프럼은 중앙 열에 관한 세 가지 질문에 각 1만 달러씩 모두 3만 달러의 상금을 걸었다. 7년이 지난 지금도 세 문제 모두 미해결이다. 중앙 열을 동전 던지기로 읽어도(검정은 앞면, 흰색은 뒷면) 그 동전은 사실 무작위가 아니다. 모든 결과는 규칙이 이미 결정해 둔 것이라, 답은 '예' 아니면 '아니오'이며 오직 증명만이 결판을 낼 수 있다. 연구팀이 10억 개의 셀을 계산해 봤지만 완벽하게 무작위로 보일 뿐, 그 자체로는 아무것도 증명하지 못한다.
가장자리에서 발견된 질서
2026년 10월 9일, 연구팀은 그림을 오래 들여다본 끝에 양쪽 가장자리가 지닌 정확한 질서의 형태를 찾아냈다. 왼쪽 가장자리와 나란한 대각선들은 짧은 반복 패턴으로 가라앉고, 한번 반복이 시작되면 영원히 이어진다. 질서의 경계선은 꼭대기 중앙 근처에서 출발해 평균 매 행당 0.244칸의 속도로 비스듬히 벌어지는데, 이는 무작위 행에서 오른쪽의 변화가 왼쪽으로 번지는 속도(약 0.246)에 가깝다. 두 값이 정확히 같은지는 아직 알 수 없다. 오른쪽 가장자리에서는 흰 삼각형들이 고르게 늘어서며, 그 폭은 행 번호가 2로 몇 번 나누어지는지에만 의존한다. 자(ruler) 위 눈금처럼 말이다. 이는 모든 시간에 대해 증명되었다.
문제는 이런 가장자리의 질서가 정작 상금이 걸린 중앙 열에는 닿지 않는다는 점이다. t번째 행에서 중앙 열은 양 가장자리로부터 t번째 대각선 위에 놓이고, 그 주기는 눈으로 볼 수 없을 만큼 길어진다. 오른쪽에서 54번째 대각선은 4,194,304행이 지나야 비로소 반복된다. 가장자리의 질서가 한가운데에 대해 아직 아무 말도 해주지 못한다는 것이 바로 이 문제들이 어려운 이유다.
중앙 열이 반복할 수 있는가
첫 번째 문제는 중앙 열이 언젠가 반복될 수 있는지를 묻는다. 규칙 30에는 유용한 성질이 있다. 중앙 열과 그 옆 열을 알면 왼쪽의 모든 칸이 하나씩 강제로 결정된다. 따라서 반복하는 중앙 열은 왼쪽 전체를 강제한다. 반례가 존재하려면 그 왼쪽 가장자리는 어느 깊이 너머로 영원히 흰색으로 남아야 한다. 그런데 중앙을 일정한 박자로 붙들고 오른쪽을 돌리면, 왼쪽은 짧은 구간 뒤 하나의 '벽돌'이 가로세로로 반복되는 결정(crystal)으로 얼어붙는다. 이 벽돌은 결코 비어 있지 않으므로 왼쪽은 흰색이 될 수 없다. 이것이 1990년 젠(Jen)의 정리다. 길이 20 이하의 짝수 패턴 1,398,100개를 모두 살펴봐도 등장하는 벽돌은 단 20종류뿐이다.
이 구조의 밑바탕에는 시에르핀스키 삼각형이 있다. 규칙 30은 사실 규칙 60(위-왼쪽과 바로 위가 다를 때 검정)에 '킥'을 더한 것으로 분해되며, 하나의 검은 칸은 시에르핀스키 삼각형으로 자라고 각 킥이 또 다른 삼각형을 시작한다. 모든 칸은 홀수 개의 삼각형이 겹친 자리인지로 결정되고, 줄무늬 쪽과 거친 쪽의 차이는 오직 킥의 배열 방식뿐이다.
결국 모든 것은 아직 아무도 다룰 방법을 모르는 한 가지 명제로 귀결된다. 중앙을 박자에 붙들어 두는 일은 실제로 정보라는 비용을 치러야 하며, 박자를 유지하는 시작 패턴의 수는 시간에 따라 지수적으로, 대략 한 단계당 1비트씩 줄어들어야 한다. 그 비용 중 왼쪽이 치르는 몫은 증명되었지만, 오른쪽이 치르는 몫이 바로 열려 있는 문제다. 연구팀은 세 문제 중 어느 것도 풀지 못했음을 분명히 하면서, 모든 증명은 프로젝트 내부의 두 번째 검토자가 확인했을 뿐 외부 검증은 아직 거치지 않았다고 밝힌다. 지금까지의 성과는 반례의 존재를 '그럴듯하지 않게' 만들 뿐, 증명은 아니다. 단순한 규칙이 복잡함을 낳는다는 명제가 왜 다루기 어려운지를, 이 7년의 기록은 담담하게 보여준다.