하나의 연산자로 모든 수학 함수를 만들 수 있다? — 단일 이항 연산자의 놀라운 가능성

수학과 컴퓨터 과학의 경계에서 발견된 흥미로운 결과

우리가 프로그래밍할 때 아무렇지 않게 쓰는 sin(), cos(), exp(), log() 같은 함수들이 있잖아요. 이런 함수들을 수학에서는 "초등 함수(elementary functions)"라고 부르는데요, 이번에 아주 흥미로운 논문이 하나 나왔어요. 단 하나의 이항 연산자(binary operator)만으로 이 모든 초등 함수를 만들어낼 수 있다는 걸 증명한 논문이에요.

이항 연산자가 뭐냐면, 쉽게 말해서 두 개의 값을 넣으면 하나의 값이 나오는 연산이에요. 우리가 잘 아는 덧셈(+)이나 곱셈(×)이 대표적인 이항 연산자죠. a + b = c 이런 식으로요. 이 논문이 말하는 건, 어떤 특별한 이항 연산자 하나를 잘 설계하면, 그 연산자를 반복적으로 조합하는 것만으로 사인, 코사인, 지수, 로그 등 모든 초등 함수를 표현할 수 있다는 거예요.

이게 왜 놀라운 건가요?

보통 우리가 수학 체계를 세울 때는 여러 개의 기본 연산을 "재료"로 깔아놓고 시작하거든요. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 같은 것들이 각각 독립적인 기본 연산으로 존재하고, 이걸 조합해서 더 복잡한 함수를 만들어 나가는 방식이죠. 그런데 이 논문은 그 모든 "재료"를 단 하나로 줄일 수 있다고 말하는 거예요.

비유하자면 이런 거예요. 레고 블록에 빨강, 파랑, 노랑, 초록 등 다양한 색의 블록이 있는데, 사실은 마법의 블록 하나만 있으면 모든 색의 블록을 만들어낼 수 있었다는 느낌이에요. 논리 회로 쪽에서 비슷한 개념이 이미 있긴 해요. NAND 게이트 하나만으로 AND, OR, NOT 등 모든 논리 연산을 만들 수 있다는 "기능 완전성(functional completeness)" 개념인데요, 이번 논문은 그 아이디어를 연속 함수의 세계로 확장한 셈이에요.

핵심 아이디어를 좀 더 들여다보면

논문에서 제시하는 이항 연산자는 단순한 덧셈이나 곱셈 같은 게 아니에요. 두 입력값을 받아서 특정한 방식으로 조합하는, 다소 복잡하게 설계된 연산자예요. 핵심은 이 연산자가 "충분히 표현력이 풍부하다"는 건데요, 이 연산자를 자기 자신과 반복적으로 합성(composition)하면 — 그러니까 연산 결과를 다시 연산의 입력으로 넣고, 그 결과를 또 넣고 하는 식으로 — 점점 더 복잡한 함수를 만들어낼 수 있다는 거예요.

수학적으로 좀 더 얘기하면, 이 연산자는 덧셈과 곱셈을 "인코딩"할 수 있고, 거기서부터 다항식을 만들 수 있고, 다항식의 극한으로 초월 함수(삼각함수, 지수함수 등)까지 도달할 수 있다는 구조예요. 마치 프로그래밍에서 튜링 완전한 언어 하나만 있으면 어떤 계산이든 할 수 있는 것처럼, 이 연산자 하나가 "해석학적으로 완전하다"고 볼 수 있는 거죠.

컴퓨터 과학과의 연결 고리

이 결과가 순수 수학에만 머무는 건 아니에요. 컴퓨터 과학, 특히 컴파일러 이론이나 프로그래밍 언어 설계에도 시사하는 바가 있거든요. 예를 들어, 프로세서의 명령어 집합(ISA)을 최소화하는 연구나, 신경망에서 활성화 함수의 보편 근사(universal approximation) 이론과도 맞닿아 있어요.

실제로 딥러닝 쪽에서는 "단순한 연산의 반복적 조합으로 복잡한 함수를 근사할 수 있다"는 게 핵심 원리잖아요. 이 논문은 근사가 아니라 "정확하게 표현할 수 있다"는 더 강한 결과를 보여주는 거예요. 하드웨어 설계 관점에서도 흥미로운데, 만약 하나의 연산 유닛만으로 모든 수학 함수를 계산할 수 있다면, 칩 설계를 극도로 단순화할 수 있는 가능성이 열리는 거니까요. 물론 실용성과 효율 사이의 트레이드오프는 별개의 문제이긴 하지만요.

NAND 게이트의 사례를 다시 떠올려보면, NAND로 모든 논리 회로를 만들 수 있다는 이론적 결과가 실제 반도체 설계에 엄청난 영향을 끼쳤잖아요. 이번 결과도 비슷한 궤적을 따를 가능성이 있어요.

한국 개발자에게 주는 시사점

솔직히 이 논문의 결과를 당장 실무 코드에 적용할 일은 거의 없을 거예요. 하지만 컴퓨터 과학의 근본적인 질문 — "계산이란 무엇인가", "최소한의 도구로 무엇을 만들 수 있는가" — 에 관심이 있는 분이라면 꼭 읽어볼 만해요. 특히 프로그래밍 언어 이론이나 컴파일러 최적화를 공부하는 분들에게는 사고의 폭을 넓혀주는 좋은 자극이 될 거예요.

그리고 면접에서 "NAND 게이트로 모든 논리 회로를 구현할 수 있는 이유"를 설명하라는 질문을 받아본 분이라면, 이 논문이 그 개념의 자연스러운 확장이라는 걸 알아두면 좋겠어요. "하나의 기본 요소로 모든 것을 구성한다"는 아이디어는 소프트웨어 아키텍처에서도 자주 등장하는 패턴이니까요.