기타 프렛으로 곱셈이 될까? 로그의 논리로 본 계산자와 음악

컴퓨터 역사와 그래픽 프로그래밍을 다뤄 온 저술가 찰스 페졸드가 최근 흥미로운 실험 하나를 공개했다. 그는 『Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music』라는 책을 샀는데, 표지 그림이 계산자(slide rule)의 눈금과 기타 프렛의 간격을 나란히 겹쳐 놓고 마치 두 구조가 같은 원리를 따르는 것처럼 보여 주고 있었다. 이 책은 1622년경 최초의 로그 계산자를 발명한 것으로 알려진 윌리엄 오트레드를 기려 1991년 설립된 오트레드 소사이어티가 펴낸 것으로, 계산자를 비롯한 옛 계산 도구의 역사를 보존하는 단체다. 표지는 기타 프렛이 계산자처럼 곱셈을 수행할 수 있다는 도발적인 암시를 담고 있었고, 페졸드는 여기에 '무언가 근본적으로 틀렸다'는 직감을 느끼면서도 정확히 무엇이 문제인지 짚어내지 못했다.

프렛을 계산자로 바꿔보다

검증을 위해 그는 기타 이미지에 숫자를 붙였다. 줄이 팽팽하게 걸리는 양 끝, 즉 왼쪽의 너트와 오른쪽의 새들 사이가 개방현의 유효 길이이며, 정확히 중간에 있는 12번 프렛은 줄을 절반으로 나눠 한 옥타브 높은 음을 낸다. 표지 그림에서 너트는 계산자 C·D 눈금의 1에, 12번 프렛은 2에 정렬돼 있었다. 그래서 그는 너트를 1, 12번 프렛을 2로 두고 그 사이 11개의 프렛을 12분의 몇이라는 분수로 라벨링했다. 그다음 기타를 세로로 반으로 잘라 두 조각을 서로 미끄러뜨릴 수 있게 만들었다. 계산자와 똑같은 방식이다.

한 옥타브 범위 안에서는 이 '기타 계산자'가 실제로 작동했다. 위쪽 조각의 1을 아래쪽의 7/6에 맞추면 위쪽의 3/2 맞은편에 곱셈 결과인 7/4가 나타났고, 5/4 곱하기 4/3이 5/3, 4/3 곱하기 3/2가 2가 되는 식으로 몇몇 조합이 깔끔하게 들어맞았다. 여기까지만 보면 기타 프렛은 분명히 곱셈을 할 수 있는 것처럼 보인다.

두 번째 옥타브에서 무너지는 대응

문제는 프렛이 더 많은 기타에서 드러났다. 대부분의 어쿠스틱 기타는 프렛이 18~19개뿐이지만, 일렉트릭 기타는 24개까지 있어 두 옥타브 범위를 낸다. 그런 기타에서 12번 프렛은 줄을 절반으로, 24번 프렛은 남은 절반을 다시 절반으로 나눈다. 그런데 표지 그림을 따라가면 너트는 1, 12번 프렛은 2, 새들은 4에 대응한다. 12번과 새들의 중간에 있는 24번 프렛은 계산자상 약 2.8에 해당하고, 새들이 4에 대응한다는 것도 이상하다. 계산자는 4 다음에도 5, 6을 거쳐 10까지 이어지지만, 기타 프렛은 새들 너머로 갈 수 없기 때문이다. 실제로 두 옥타브 기타를 잘라 계산자를 만들어 보면 3/2 곱하기 2처럼 3이 나와야 할 곱셈에서 눈금이 어긋난다. 첫 옥타브에서는 되던 것이 두 옥타브에서는 되지 않는 것이다.

왜 어긋나는가

페졸드는 그 이유를 로그의 정의에서 찾는다. 로그는 지수의 역연산이며, 두 수의 로그를 더한 값은 그 두 수를 곱한 값의 로그와 같다. 계산자는 바로 이 성질을 두 개의 자로 구현한 도구다. 10인치 로그 눈금에서 각 숫자의 위치는 전체 길이에 그 수의 상용로그를 곱한 만큼 떨어져 있고, 1은 로그값이 0이라 눈금의 시작점이 된다. 두 자를 맞대면 오트레드가 1622년에 만든 계산자가 되고, 결국 자의 길이를 더하고 빼는 물리적 동작이 숫자의 곱셈과 나눗셈으로 나타난다.

반면 기타 프렛은 음정 인식이 로그적이라는 사실 때문에 로그 눈금을 '부분적으로만' 흉내 낸다. 소리는 진동이고 사람은 주파수를 선형이 아니라 비율로 지각한다. 1000Hz와 2000Hz의 차이를 2000Hz와 4000Hz의 차이와 같게 느끼는데, 이 주파수 두 배가 곧 옥타브다. 서양 음악은 한 옥타브를 12단계로 나눴고, 표준 조율에서 가온다 위 A음은 440Hz로 정해져 나머지 A음들은 이 값을 배로 올리거나 내려 계산된다. 프렛 간격은 이런 음정 구조를 따르기에 첫 옥타브 안에서는 계산자와 비슷하게 배치되지만, 옥타브마다 주파수가 배가되는 특성 탓에 눈금 전체가 계산자의 로그 눈금과 일치하지는 않는다.

실무자 입장에서 이 이야기는 단순한 지적 유희 이상의 함의를 준다. 두 곡선이나 눈금이 겉보기에 비슷하게 겹쳐 보인다고 해서 같은 수학적 구조를 공유한다고 단정해서는 안 된다는 점이다. 로그적 지각과 로그적 계산 도구는 모두 로그를 품고 있지만 대응 방식이 다르며, 좁은 구간에서 성립하는 근사를 전 구간으로 확장하는 순간 오차가 드러난다. 페졸드가 표지 한 장에서 느낀 위화감을 끝까지 파고들어 확인한 방식은, 데이터나 도표가 주는 그럴듯한 인상을 실제 정의로 되짚어 검증하는 태도가 여전히 유효하다는 것을 보여 준다.