접히지 않을 것 같던 다면체가 움직인다: 슈테펜 다면체의 기하학

수학과 공학에서 '강체(rigid)'라는 개념은 종종 당연한 전제로 취급된다. 각 면의 모양이 고정되어 있고 면들이 경첩처럼 모서리에서만 연결된 닫힌 다면체라면, 전체 형태 역시 고정되어 움직이지 않으리라는 직관이다. 실제로 볼록 다면체는 결코 유연할 수 없다는 사실이 증명되어 있다. 그러나 이 직관은 볼록하지 않은 다면체에서는 무너진다. 그리고 그 반례를 가장 적은 수의 면으로 구현한 대표적 사례가 바로 물리학자이자 SF 작가인 그레그 이건이 정리한 슈테펜 다면체(Steffen's polyhedron)다.

강체가 아닌 다면체의 계보

유연 다면체란 모든 개별 면의 모양을 그대로 유지한 채 전체 형태를 바꿀 수 있는 다면체를 말한다. 스스로 교차하지 않으면서 구(sphere)의 위상을 가진 최초의 유연 다면체는 1977년 로버트 코넬리가 발견했다. 이후 클라우스 슈테펜은 같은 성질을 단 14개의 삼각형만으로 구현해 면의 수를 크게 줄였다. 오랫동안 슈테펜 다면체의 아홉 개 꼭짓점이 최소값으로 여겨졌으나, 2024년 갈레(Gallet) 등이 여덟 개의 꼭짓점만 가진 유연 다면체를 찾아내며 이 기록은 갱신됐다. 이건에게 이 진전을 알려준 엘바르 아틀라손 역시 문제에 대한 상세한 분석을 발표하고 여덟 꼭짓점짜리 또 다른 해를 구성했다.

대칭이 만들어내는 자유도

슈테펜 다면체의 구성 원리는 의외로 따라가기 어렵지 않다. 먼저 적절한 네 개의 삼각형을 조립해 일종의 피라미드를 만든다. 이 도형은 하나의 자유도를 가지는데, 예를 들어 바닥을 이루는 비평면 사각형 ABCD의 대각선 길이를 바꿀 수 있다. 이때 변의 길이는 AB=CD=12, BC=AD=10, AP=10, BP=5, CP=12, DP=11로 정한다. 여기서 5, 10, 11, 12라는 구체적 수치 자체는 특별할 것이 없지만, 사각형의 마주 보는 변끼리 길이가 같아야 한다는 점이 결정적이다.

다음으로 이 도형의 모서리 AD와 CD에 삼각형 두 개를 덧붙인다. 두 삼각형은 모서리 DE를 공유하며 DE=5, AE=12, CE=10으로 설정한다. E의 위치는 AD와 CD에 의해 이미 정해지므로 새로운 자유도가 추가되지는 않는다. 놀라운 점은 사각형 ABCD가 접히며 변형되는 동안에도 거리 BE가 11로 일정하게 유지되어 각 ECB 역시 변하지 않는다는 사실이다. 이는 삼각형 ADE가 CBP와 합동이고 CDE가 ABP와 합동이기 때문이다. 즉 E는 첫 번째와 합동인 두 번째 피라미드의 꼭대기가 되며, 이 합동 관계가 각도의 불변성을 보장한다.

이렇게 만든 여섯 삼각형짜리 도형 두 개를, 각도 ECB가 형태와 무관하게 일정하다는 성질을 이용해 모서리를 따라 이어 붙인다. 첫 번째 도형의 E1C1을 두 번째의 B2C2에, 그리고 B1C1을 E2C2에 붙이는 식이다. 이렇게 조립된 12개 삼각형은 두 개의 자유도를 갖는다. 마지막으로 삼각형 면 A1B1A2와 A2B2A1을 더하는데, 이 면들의 모양을 고정하기 위해 A1A2의 길이를 17로 못 박는 조건에 자유도 하나를 소모한다. 그래도 자유도가 하나 남기 때문에 완성된 다면체는 여전히 접히며 움직일 수 있다. 참고로 B1B2도 11로 고정되지만, A1A2 대신 이 변으로 사각형을 두 삼각형으로 나누려 하면 다른 면들과 교차해 버린다.

실무자가 이 도형에서 읽을 것

이 결과는 단순한 수학적 진기명기에 그치지 않는다. 구조물의 강성을 다루는 엔지니어, 접이식 기구나 전개형 구조를 설계하는 사람, 그리고 기하 제약을 코드로 다뤄야 하는 CAD·시뮬레이션 개발자에게 '면이 고정되면 형태도 고정된다'는 암묵적 가정이 항상 성립하지는 않는다는 반례를 명확히 보여주기 때문이다. 제약 기반 모델링에서 자유도를 세는 방식, 합동과 대칭을 활용해 특정 각도나 거리를 불변으로 유지하는 설계 기법은 실제 파라메트릭 모델링과도 맞닿아 있다.

다만 슈테펜 다면체는 어디까지나 이론적 구성물이라는 점은 짚어둘 필요가 있다. 종이로 접는 전개도(net)까지 제공되어 실제 종이 모형으로 만들어 볼 수 있지만, 이때 골선은 계곡 접기, 실선은 산 접기로 접어야 하며 두 피라미드는 색칠한 면 기준으로 보면 움푹 파인 구덩이처럼 보이게 된다. 실물에서는 종이의 두께나 접힘부의 유연성 때문에 이상적인 강체 면 가정이 완벽히 성립하지 않는다. 이 도형이 주는 교훈은 특정 제품에 곧장 적용되는 기술이라기보다, 형태와 제약에 대한 우리의 직관을 점검하게 만드는 정밀한 사고 실험에 가깝다.