공장 자동화 게임 팩토리오(Factorio)는 이 장르의 원형으로 꼽힌다. 플레이어는 자원을 캐서 점점 복잡한 물건을 만들고, 그 과정을 컨베이어 벨트 같은 물류와 기계로 자동화한다. 게임이 진행되면 대부분의 제작은 사람이 아니라 기계가 맡게 되고, 기계에는 모듈을 끼워 성능을 바꿀 수 있다. 속도 모듈은 전력을 더 쓰는 대신 가공을 빠르게 하고, 생산성 모듈은 같은 재료로 더 많은 산출을 내되 속도와 전력을 희생한다.
2024년에 나온 확장팩 스페이스 에이지(Space Age)는 여기에 '품질(Quality)' 개념을 더했다. 이제 모든 아이템과 레시피는 노멀, 언커먼, 레어, 에픽, 레전더리의 다섯 등급으로 나뉜다. 등급이 오르면 기계가 더 빨라지거나 생산성 모듈이 더 강력해지는 식으로 성능이 개선된다. 높은 등급은 같은 등급의 재료로 직접 만들 수도 있지만, 등급 자체를 끌어올리는 유일한 수단은 새로 추가된 품질 모듈이다.
확률로 굴러가는 생산 라인
품질 모듈은 제작 시 등급이 오를 확률을 결정한다. 첫 등급 상승 이후에는 한 단계씩 더 오를 때마다 그 확률의 10분의 1이 추가로 적용된다. 모듈 슬롯이 네 개인 기계에서 얻을 수 있는 최대 품질 확률은 24.8%다. 결정론적이던 게임에 무작위성이 들어온 것을 싫어하는 플레이어도 있지만, 시도 횟수가 충분히 많아지면 확률은 사실상 일정한 비율로 수렴한다. 문제는 밸런스상 고등급 아이템을 얻으려면 원하지 않는 저등급 아이템도 함께 대량으로 만들어질 수밖에 없다는 점이다.
창고가 가득 차 공장이 멈추는 것을 막기 위해 스페이스 에이지는 재활용기(recycler)도 도입했다. 아이템을 파괴하고 재료의 약 25%를 돌려주는 기계다. 이를 이용해 제작과 재활용을 반복하면서 품질 모듈로 등급을 서서히 끌어올리는 '업사이클링' 순환 구조를 만들 수 있는데, 대신 훨씬 많은 재료를 소모한다. 이 순환 구조는 계산이 까다로워서 기존 계산기 도구로도 예측하기 어렵다는 것이 이 글의 출발점이다.
스프레드시트 대신 행렬
일부 플레이어는 자원 회계를 스프레드시트로 관리하지만, 저자는 한 걸음 더 나아가 게임의 수학을 행렬로 모델링한다. 핵심은 각 등급의 확률을 5차원 행벡터로 두고, 품질 확률 q에 대응하는 전이 행렬 T(q)를 곱하는 것이다. 그러면 '재료 벡터 × 전이 행렬 = 산출 벡터'라는 하나의 식으로 정리된다. 품질 확률이 0이면 전이 행렬은 항등 행렬이 되어 등급 변화가 없는 경우를 자연스럽게 표현한다.
이 방식의 장점은 여러 공정을 이어붙이기 쉽다는 데 있다. 예컨대 철광석을 7.5% 확률로 채굴하고, 5% 확률로 제련해 철판을 만들고, 10% 확률로 파이프를 제작하는 과정은 전이 행렬을 순서대로 곱하는 것만으로 최종 등급 분포를 얻을 수 있다. 재활용기가 75% 확률로 아무것도 내놓지 않는 상황은 벡터에 4분의 1을 곱하는 것으로, 특정 등급만 골라내는 필터링은 성분 일부만 남기는 필터 행렬로 표현된다.
무한 루프를 유한하게 푸는 열쇠
순환 구조의 진짜 난점은 아이템이 몇 번을 돌지 상한이 없다는 것이다. 모든 경로를 더하면 전이 행렬의 거듭제곱을 무한히 합산해야 한다. 이 합은 항이 지수적으로 작아져 수렴하긴 하지만, 무한합을 직접 계산하는 것은 곤란하고 근사치는 만족스럽지 않다. 저자가 찾은 열쇠는 아이템이 루프를 몇 번 돌았는지는 중요하지 않고 지금 어떤 등급인지만 중요하다는 관찰이다. 단일 아이템의 확률 대신 충분히 긴 시간 동안 시스템을 통과하는 아이템의 평균 흐름을 벡터로 보면, 시스템은 동적 평형 상태로 수렴한다.
이렇게 하면 유입되는 신선한 아이템, 분배기, 추출, 재활용으로 되돌아오는 흐름 사이의 관계가 몇 개의 선형 방정식으로 정리되고, 무한합은 하나의 연립방정식을 푸는 문제로 바뀐다. 실무 관점에서 이 접근은 확률적으로 순환하는 시스템의 정상 상태를 마르코프 연쇄처럼 행렬 대수로 다루는 전형적인 사례다. 게임 밖에서 스프레드시트로 병목과 산출을 따지던 계획을, 재활용 루프까지 정확히 반영하는 형태로 확장한 셈이다. 저자는 이 계산을 온라인 도구로 공개했다. 다만 이 모델은 확률이 비율로 수렴하는 장기 평균을 전제로 하므로, 소량만 돌릴 때 나타나는 단기 편차나 실제 물류·전력 제약까지 대신 답해 주지는 않는다는 점은 염두에 둘 필요가 있다.