수학과 예술이 만나는 지점은 종종 예상치 못한 방향으로 사람을 끌고 간다. 한 창작자가 '제곱 가능한 수(squarable numbers)'를 소재로 한 예술 포스트를 준비하던 중, 그 곁들임으로 므세스 퍼킨스 퀼트(Mrs. Perkins' Quilt)를 실제로 바느질해 보려다가 전혀 다른 문제로 빠져든 과정을 기록한 글이 화제다. 원래 1,500단어짜리 글을 거의 완성해 발행 직전까지 갔지만, 결국 새로운 질문 하나에 사로잡혀 방향을 틀었다는 것이다.
오래된 분할 문제, 므세스 퍼킨스 퀼트
므세스 퍼킨스 퀼트는 고전적인 조합 기하 문제다. 한 변의 길이가 n인 정사각형을, 변의 길이가 모두 정수인 더 작은 정사각형들로 자르되 사용하는 정사각형의 개수를 최소로 만드는 것이 목표다. 언뜻 단순해 보이지만 n이 커질수록 최적 분할을 찾는 일은 만만치 않다. 이 문제에 관심이 있다면 squaring.net에서 원래의 문제 서술과 풍부한 자료를, Wolfram의 데모에서 직접 조작해 볼 수 있는 예시를 확인할 수 있다.
흥미로운 점은 이 탐험이 순수한 이론이 아니라 실제 바느질에서 출발했다는 것이다. 글쓴이는 천을 준비해 두고도 정작 바느질을 시작하지 못한 채, 여러 퀼트의 봉제 기법을 살피는 데 시간을 쏟았다. 이름에 '퀼트'가 붙어 있는데도 정작 사람들이 이 퀼트를 실제로 꿰매는 모습을 담은 이미지를 찾기 어려웠기 때문이다. 그 이유를 글쓴이는 이 작업이 꽤 까다롭기 때문일 것이라고 추측한다.
왜 'L자 이음선'이 문제가 되는가
바느질에서 모서리를 돌아가며 꿰매는 일은 천이 우글거리며 주름(pucker)이 생기기 쉬워 기피 대상이다. 이런 경우에는 이른바 부분 봉제(partial-seam) 기법을 써야 할 수도 있다. 글쓴이가 다루려는 퀼트에서는 이런 L자 형태의 이음선을 두 군데 꿰매야 했고, 여기서 근본적인 질문이 싹텄다. 같은 구조를 종이 재단으로 바꿔 생각하면 이해가 쉽다. 재단기(paper cutter)로 한 번에 직선으로 밀어 자르는 길로틴 컷을 최대한 활용하려면, 결국 몇 개의 모서리를 따로 잘라야 하느냐의 문제가 된다.
그래서 나온 물음이 이것이다. 임의의 변 길이 n에 대한 최적의 므세스 퍼킨스 퀼트에서, 반드시 필요한 L자 이음선의 최소 개수는 몇 개인가. 글쓴이는 이를 수열 a(n)으로 정리하기 시작했고, n=1부터 17까지 값을 조사해 다음과 같은 초기 항들을 얻었다. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2 …. 작은 n에서는 L자 이음선이 필요 없다가 특정 지점부터 하나둘 등장하며, 그 뒤로도 값이 단조롭게 늘지 않고 오르내리는 불규칙한 양상을 보인다.
실무자가 눈여겨볼 지점
이 사례가 흥미로운 것은, 하나의 손작업 고민이 최적화·조합론·재단 경로 문제로 자연스럽게 번역된다는 데 있다. 정사각형 분할의 '최소 조각 수'라는 잘 알려진 목적함수 위에, '실제로 만들 때 드는 비용(까다로운 L자 이음선의 수)'이라는 두 번째 목적함수가 겹쳐진 구조다. 조각 수가 최소인 분할이 반드시 봉제나 재단이 가장 쉬운 분할은 아닐 수 있다는 점은, 이론적 최적해와 제조 현장의 최적해가 어긋나는 익숙한 상황과 닮았다. 소프트웨어로 치면 알고리즘 복잡도상의 최적과 구현·운영 편의상의 최적이 다른 경우와 다르지 않다.
다만 이 탐구는 아직 완결된 결과가 아니라 진행 중인 기록이라는 점을 분명히 해 둘 필요가 있다. 글쓴이 스스로 n이 큰 경우에는 해당하는 퀼트의 수가 매우 많아질 수 있다고 언급하며, 우선 13×13 퀼트를 실제로 바느질하는 데 집중하기 위해 조사 범위를 17까지로 제한했다. 또한 탐구 과정에서 떠오른 여러 질문은 아직 답을 찾지 못한 채 열려 있으며, 글 자체도 작업이 진행되면 계속 갱신될 예정이라고 밝혔다. 즉 수열 a(n)의 규칙성이나 일반식, 나아가 그 값이 정말 '최소'임을 보장하는 증명은 현재로서는 제시되지 않았다.
결국 이 이야기는 정답보다 질문을 던지는 방식 자체가 흥미로운 사례다. 취미에서 출발한 사소한 불편이 정의가 명확한 수학적 수열로 다듬어지고, 다시 재단과 자동화 관점의 최적화 문제로 확장되는 흐름은, 문제를 어떻게 형식화하느냐가 곧 탐구의 절반임을 보여준다. 실제 퀼트 완성본과 후속 내용은 별도의 글로 예고되어 있어, 이 수열이 어디까지 확장되고 어떤 답에 가닿을지는 지켜볼 대목이다.