수학자 테렌스 타오의 블로그에 그랜트 샌더슨이 기고한 글은, 최근 수학계에 퍼진 한 가지 불안에서 출발한다. 문제를 풀고 증명을 만들어내는 일은 오랫동안 수학의 진짜 목표, 즉 인간의 이해를 넓힌다는 목표를 대리하는 지표였을 뿐이라는 것이다. 그런데 인공지능이 이해 없이도 증명을 뽑아낼 수 있게 되면서, 증명이라는 대리 지표의 가치가 흔들리기 시작했다. 그렇다면 무엇을 새로운 지표로 삼아야 하는가. 샌더슨의 제안은 '동기 있는 설명(motivated explanation)'이라는 개념을 더 분명하게 정의하고, 여기에 새로운 증명을 내놓는 일에 준하는 학문적 인정을 부여하자는 것이다.
그가 말하는 동기 있는 설명은 대중화나 눈높이 소개와는 다르다. 깊은 전문성이 있어야만 음미할 수 있는 주제라도, '어떻게 그런 생각에 도달하게 되는가'라는 질문에 답하는 것이 목표라면 모두 여기에 포함된다. 그는 자신이 영상 제작이라는 비전통적 경력을 걸어온 만큼 이 제안이 자기 잇속으로 읽힐 수 있음을 먼저 인정하지만, 자신의 활동과 재원은 학계 밖에 있어 학계가 무엇에 점수를 주든 이해관계가 없다고 덧붙인다.
증명과 설명은 무엇이 다른가
샌더슨은 증명과 동기 있는 설명의 차이를 구조적으로 대비시킨다. 증명에서는 정의가 맨 앞에 놓이고 새로운 구성물을 먼저 던진 뒤 그 성질을 분석한다. 반면 동기 있는 설명에서 정의는 중간에 등장한다. 그 구성물이 해결하려는 문제가 분명히 제시된 뒤에야 새로운 용어가 어휘에 들어올 수 있다. 또 증명은 모든 진술이 옳고 앞 단계에서 필연적으로 따라 나와야 하지만, 좋은 설명은 처음에 조금 틀렸지만 출처가 납득되는 발상에서 출발해 그것이 깨지는 지점을 보고 고쳐나가도 된다. 마이클 닐슨이 이름 붙인 '발견 픽션'이 그 예다. 증명의 범위가 특정 정리가 왜 참인지 밝히는 것이라면, 설명의 범위는 애초에 왜 그 정리가 던질 만한 올바른 문제인지, 그리고 주변 맥락에서 어떻게 쓰이는지까지 아우른다.
분명한 약점도 있다. 설명의 타당성은 증명처럼 이분법적으로 판정되지 않는다. 그래서 '동기 있는 설명을 위한 Lean' 같은 것은 결코 존재할 수 없다. 그럼에도 그가 '명료한'이나 '신비를 벗기는' 같은 단어 대신 '동기 있는'을 고른 이유는, 이것이 더 검증 가능한 성질이기 때문이다. 새로 도입되는 각 발상마다 그것이 어디서 왔는지가 분명한지 물을 수 있고, 답이 완전한 예/아니오는 아니어도 실용적으로는 충분히 가깝다는 것이다. 그는 자기 작업에서 '스스로 발견할 수 있었을 것처럼 느껴지길 바란다'는 말을 기준으로 삼는다.
이미 존재하지만 저평가된 전통
샌더슨이 드는 사례들은 이런 작업이 새로운 것이 아님을 보여준다. 프린스턴 수학 안내서 4부는 스무 개가 넘는 활동 분야를 전문가들이 직접 소개하는데, 앤드루 그랜빌의 해석적 정수론이나 데이비드 벤즈비의 모듈라이 공간 설명은 칠판 앞 일대일 대화에서나 얻을 법한 직관을 담고 있다. 이 책을 편집한 필즈 메달리스트 티머시 가워스는 그 방대한 작업에 5년간 근무 시간의 절반을 쏟았다고 회고하는데, 필즈 메달이 없었다면 그런 기회를 얻지도, 시간을 쓸 정당성을 느끼지도 못했으리라고 말한다. 빌 서스턴 역시 '증명과 진보'라는 에세이에서 인정받지 못하는 활동들, 곧 노트를 책으로 다듬고 수학 교육과 소통 형식을 개발한 일을 정리 증명만큼 소중히 여겼다고 적었다. 왜 이런 일이 필즈 메달 다음에 오는 보상이 아니라 메달에 기여하는 업적이 되지 못하느냐는 물음이 글 전체를 관통한다.
티머시 차우의 '포싱 입문서'는 '열린 해설 문제(open exposition problem)'라는 유용한 어휘를 제공한다. 열린 연구 문제처럼, 이미 증명은 있지만 아직 제대로 이해되지 않은 결과를 명료하게 풀어내는 일을 하나의 미해결 과제로 정의하는 것이다. 샌더슨은 여기서 한발 더 나아가, 밀레니엄 문제의 해설판 같은 제도를 상상한다. AI가 만들어낸 모든 증명은 태어나는 순간 미해결 해설 문제이므로, 앞으로 몇 년간 그런 문제가 쏟아질 것이고 어느 것에 집중할지 가려낼 기준이 필요해진다는 것이다.
실제로 올해 4월 리엄 프라이스는 GPT-5.4 Pro와의 상호작용에서 나온 에르되시 1196번 문제(점근적 원시 집합 추측) 풀이를 제출했다. 이 문제는 그동안 AI가 도운 다른 에르되시 문제들과 달리 중요하면서도 까다롭다고 여겨지던 것이었지만, 증명이 형식적으로 존재하게 된 시점에도 인간의 이해는 별로 진전되지 않았다. 이후 냇 소타나판과 재러드 리히트먼이 AI의 접근을 해석하고 사람이 읽을 수 있는 형태로 다듬어냈다. 스메일의 증명이 이해를 0에서 1로 끌어올린다면, 이런 정리 작업이나 서스턴의 구면 뒤집기를 시각화한 '아웃사이드 인' 영상은 1을 N으로 넓히는 일에 해당한다.
한국 실무자에게 주는 함의
이 논의는 수학계 안의 이야기지만, 코드 생성 AI를 매일 쓰는 소프트웨어 실무자에게도 낯설지 않다. LLM이 동작하는 코드를 뽑아내는 순간에도 '왜 이 구조인가, 어떻게 여기에 도달했는가'라는 이해는 자동으로 따라오지 않는다는 점에서, 증명과 설명의 분리는 코드와 설계 근거의 분리와 겹친다. 조직이 무엇을 성과로 인정하고 보상하는가가 구성원의 행동을 결정한다는 지적도 그대로 옮겨온다. 결과물만 celebrate하고 그 결과가 왜 옳고 언제 무너지는지를 밝히는 문서·해설 작업을 이류로 취급하면, 외부인은 물론 내부인조차 진짜 가치를 놓치게 된다. 다만 샌더슨 스스로 인정하듯 설명의 품질은 본질적으로 주관적이라, 증명처럼 깔끔한 합격/불합격 판정을 기대하기 어렵고 합의된 평가 루브릭을 만드는 일 자체가 남은 숙제로 남는다.